Contre-exemple + cas par cas
1) Contre exemple : Pour démontrer une proposition comme ∀x ∈ E, P(x)
- Trouver un x pour lequel P(x) est fausse demontre que P(x) est fausse
2) Disjonction de Cas Pour démontrer une propriété P dépendant d'une valeur de x
- On examine toutes les possibilités de x et on conclus
Absurde
1) Absurde : Pour une implication P -> Q, on suppose que P est vrai et Q est faux et on cherche une contradiction
- Si P est vrai alors Q doit être vrai aussi
- Si non P est vrai alors P mène a une contradiction
Recurrence + Contraposition
1) Contraposition : P -> Q = non Q -> non P, donc si non Q -> non P vrai, P -> Q vrai
2) Recurrence : Pour demontrer ∀n ∈ N, P(n)
- On initialise d'abord P pour un petit n
- Puis on essaye avec n + 1
Theoreme de Rolle
- Pour f [a;b] continue, derivable et f(a) = f(b) :
- ∃ c ∈ ]a ; b[ tel que f'(c) = 0 (un extrema de f)
- Pas forcement un seul c
Théorèmes des accroissements finis
1) Lagrange : Pour f [a;b], continue et derivable sur ] a; b [ :
- ∃ c ∈ ]a ; b[ tel que f'(c) = ( f(b) - f(a) ) / (b - a)
2) Cauchy : pour f et g sur [a;b], continue et derivable :
- Avec g' ne s'annule pas sur ] a;b [
- ∃ c ∈ ]a ; b[ tel que f'(c) / g'(c) = ( f(b) - f(a) ) / (g(b) - g(a) )
Théorème des valeurs intermédiaires
- Soit a et b dans I, avec a ≤ b
- Soit un reel k avec f(a) ≤ k ≤ f(b)
- ∃ c ∈ ]a ; b[ tel que f(c) = k
- Donc, si f continue sur [a ; b], f prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b)
- Si f(a).f(b) ≤ 0 alors f a au moins un zéro sur [a;b]
Théorème du point fixe
- Soit f continue sur [a;b] et [ f(a) ; f(b) ] ⊆ [a;b]
- Alors f admet au moins un point fixe sur [a;b] tel que f(c) = c
Fonction k-lipschitzienne
- f est k-lipschitzienne sur [ a;b ] si ∃ k > 0 tel que :
- | f(a)−f(b) | ≤ k . |a−b|
- k = valeur absolue de la borne superieure de f'
- Ou, si une fonction possède une dérivée bornée (sans ∞ en limites) alors elle est lipschitzienne